Fix

config.yml

@@ -1,6 +1,6 @@
 baseURL: "http://blog.morgan.kr"
 title: Morgan's Blog
-theme: "oldtheme"
+theme: "mytheme"
 
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 buildFuture: false

content/posts/test.md

@@ -0,0 +1,339 @@
+---
+title: 체르노프 유계(Chernoff Bound)
+date: 2022-11-15T11:21:46.836Z
+slug: chernoff-bound
+---
+
+# prerequisites
+
+본 포스트를 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오는 것이 좋습니다.
+
+* [마르코프 부등식과 체비셰프 부등식](https://angeloyeo.github.io/2022/09/12/Markov_Chebyshev_Inequality.html)
+
+# 증명
+
+Chernoff 부등식은 Lower-tail 버전과 Upper-tail 버전의 형태가 다르다. 아래에서는 증명 과정을 소개하고자 한다.
+
+## Lower-Tail Chernoff Bound
+
+$X$가 $N$ 개의 독립적인 랜덤변수의 합이라고 하자. 또, 이때 이 랜덤 변수들은 베르누이 분포를 따르며 $p_i$의 확률로 1의 값을 갖는다고 하자.
+
+$$X = \sum_{i=1}^{N}X_i$$
+
+[//]:# (식 1)
+
+이 때, 임의의 $\delta\in (0, 1)$에 대해 다음이 성립한다.
+
+$$P(X \lt (1-\delta)E[X]) \lt e^{-E[X]\cdot \delta^2/2}$$
+
+[//]:# (식 2)
+
+여기서 $e$는 자연로그의 밑이다.
+
+(증명)
+
+우선 아래의 부등식이 성립한다는 것을 증명하자.
+
+$$P(X \lt (1-\delta) E[X]) \lt \left(\frac{e^{-\delta}}{(1-\delta)^{(1-\delta)}}\right)^{E[X]}$$
+
+[//]:# (식 3)
+
+이를 증명하기 위해 임의의 매개변수 $t>0$을 도입하자. 이 $t$를 이용해 우리는 $X$에 대한 식을 $e^{-tX}$에 대한 식으로 변환할 것이다. 이 방법은 적률생성함수(moment generating function)을 활용하는 원리와 유사하게 볼 수 있는데, 원래의 $X$ domain에서 풀기 어려운 문제를 매개변수 $t$ 도메인으로 옮겨 문제를 상대적으로 쉽게 풀기 위함이라고 볼 수도 있다.
+
+식 (3)을 증명하기 위해 [마르코프 부등식](https://angeloyeo.github.io/2022/09/12/Markov_Chebyshev_Inequality.html)의 식을 $X$ 대신 $e^{-tX}$에 맞춰 수정하자. 원래의 마르코프 부등식은 아래와 같다.
+
+$$P(X\lt \alpha) \leq \frac{E[X]}{\alpha}$$
+
+[//]:# (식 4)
+
+여기서 우변을 바꿔주면,
+
+$$P(X\lt\alpha) \leq \frac{E[e^{-tX}]}{e^{-t\alpha}}$$
+
+[//]:# (식 5)
+
+가 된다.
+
+식 (5)를 식 (2)의 좌변에 맞춰 적용하면 결과는 아래와 같다. 여기서 $\alpha = (1-\delta)E[X]$이므로,
+
+$$\Rightarrow P(X\lt (1-\delta)E[X]) \leq \frac{E[e^{-tX}]}{e^{-t(1-\delta)E[X]}}$$
+
+[//]:# (식 6)
+
+이 성립한다. 또 $X$를 구성하고 있는 $X_i$ 들은 독립적으로 발생한 사건이다. 위 식의 우변의 분자를 보면,
+
+$$E[e^{-tX}]=E[e^{-t\cdot\sum_{i}X_i}]=E[e^{-t(X_1+X_2+\cdots+X_N)}]\notag$$
+
+$$=E[e^{-tX_1}\cdot e^{-tX_2}\cdot e^{-tX_3}\cdot \cdots \cdot e^{-t X_N}]$$
+
+[//]:# (식 7)
+
+과 같이 쓸 수 있는데, 독립 랜덤 변수의 곱의 기댓값은 기댓값들의 곱이므로 위 식은 아래와 같이 고쳐쓸 수 있다.
+
+$$\Rightarrow E[e^{-tX_1}\cdot e^{-tX_2}\cdots e^{-tX_N}]=\prod_{i=1}^{N}E[e^{-tX_i}]$$
+
+[//]:# (식 8)
+
+위 식의 $E[e^{-tX_i}]$를 자세히 보면 베르누이 분포를 따르는 시행 $X_i$에 대한 변환식 $e^{-tX_i}$의 기댓값임을 알 수 있다. $X_i$는 $(1-p_i)$ 혹은 $p_i$의 확률로 0 또는 1의 값을 가지므로 $X_i$의 기댓값은
+
+$$E[X_i] = (1-p_i)\cdot 0 + p_i \cdot 1 = p_i$$
+
+이며, $e^{-tX_i}$의 기댓값은 
+
+$$E[e^{-tX_i}]=(1-p_i)e^{-t\cdot 0}+p_i e^{-t\cdot 1}\notag$$
+
+$$=1-p_i + p_i e^{-t}=1+p_i(e^{-t}-1)\notag$$
+
+$$ = 1+E[X_i](e^{-t}-1)$$
+
+임을 알 수 있다. 또한 위 식의 마지막 결과물은 $\exp(E[X_i]\cdot(e^{-t}-1))$의 테일러 급수 두 항과 일치한다는 점을 고려하면 다음이 성립함을 알 수 있다.
+
+$$E[e^{-tX_i}]=1+E[X_i](e^{-t}-1) \lt e^{E[X_i](e^{-t}-1)}$$
+
+[//]:# (식 11)
+
+식 (11)을 식 (8)에 다시 대입하면,
+
+$$\prod_{i=1}^{N}E[e^{-tX_i}]\lt\prod_{i=1}^{N}e^{E[X_i](e^{-t}-1)}$$
+
+이 성립하게 됨을 알 수 있는데, 위 식의 우변을 또 다시 쓰면,
+
+$$\prod_{i=1}^{N}\exp(E[X_i](e^{-t}-1))=\exp\left(\sum_{i=1}^{N}E[X_i]\cdot (e^{-t}-1)\right)\notag$$
+
+$$=\exp\left(E[X](e^{-t}-1)\right)$$
+
+[//]:# (식 13)
+
+이다. 따라서 식 (13)의 결과를 식 (6)에 대입하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.
+
+$$P(X<(1-\delta)E[X]) \leq \frac{\exp\left(E[X](e^{-t}-1)\right)}{\exp\left(-t(1-\delta)E[X]\right)}$$
+
+[//]:# (식 14)
+
+위 식은 어떤 $t>0$에 대해서라도 성립하는 식이다. 이제는 식 (14)가 최대한 tight한 boundary에 대해 성립할 수 있도록 식 (14)의 최소값을 내주는 $t=t^\ast$ 값을 찾자. 이 과정은 식 (14)를 미분하고 미분한 값이 $0$이 되는 $t^\ast$를 찾음으로써 해결할 수 있다. 
+
+식 (14)의 우변에 지수법칙을 적용하여 한줄로 쓰면 다음과 같다.
+
+$$\exp(E[X](e^{-t}-1)+t(1-\delta)E[X])$$
+
+[//]:# (식 15)
+
+이를 조금만 더 정리하고 $f(t)$라고 이름 붙이자.
+
+$$f(t) = \exp\left(E[X]e^{-t}-E[X]+tE[X]-t\delta E[X]\right)\notag$$
+
+$$=\exp\left(E[X](e^{-t}+t-t\delta -1)\right)$$
+
+[//]:# (식 16)
+
+이제 $f(t)$를 $t$에 대해 미분하면,
+
+$$f'(t) = \exp\left(E[X](e^{-t}+t-t\delta -1)\right)(E[X])(e^{-t}+1-\delta)$$
+
+[//]:# (식 17)
+
+임을 알 수 있다. 식 (17)에서 맨 앞의 $\exp()$ 함수는 항상 양수이며 $E[X]$ 역시 양수이다. 따라서, 가장 오른쪽의 괄호 안의 값만 0이 되도록 하면 $t=t^\ast$를 찾을 수 있다.
+
+따라서, 
+
+$$e^{-t}+1-\delta = 0$$
+
+을 만족하는 $t=t^\ast$는
+
+$$t=t^\ast = \ln\left(\frac{1}{1-\delta}\right)$$
+
+[//]:# (식 19)
+
+이다.
+
+식 (19)를 식 (14)에 대입하면 식 (3)을 얻을 수 있게 된다. 식 (19)를 식 (14)에 대입하면,
+
+$$\Rightarrow P(X<(1-\delta) E[X])\leq 
+  \frac{\exp\left(E[X]\left(e^{-\ln\left(1/(1-\delta)\right)}-1\right)\right)}{\exp\left(-\ln(1/(1-\delta))(1-\delta)E[X]\right)}$$
+
+[//]:# (식 20)
+
+여기서 우변만 보면 다음과 같다.
+
+$$\text{(우변)}\Rightarrow \frac{\exp(E[X](1-\delta -1))}{\exp(-(1-\delta)E[X]\ln\left(1/(1-\delta)\right))}$$
+
+[//]:# (식 21)
+
+$$=\frac{\exp(E[X](-\delta))}{\exp(\ln(1-\delta)^{(1-\delta E[X])})}=\frac{\exp(-\delta E[X])}{(1-\delta)^{(1-\delta)E[X]}}$$
+
+[//]:# (식 22)
+
+$$=\left(\frac{e^{-\delta}}{(1-\delta)^{(1-\delta)}}\right)^{E[X]}$$
+
+[//]:# (식 23)
+
+한편, 
+
+$$\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\cdots = -\sum_{i=1}^{N}\frac{x^n}{n}$$
+
+[//]:# (식 24)
+
+이므로,
+
+$$(1-\delta)\ln(1-\delta) = - (1-\delta)\delta - (1-\delta)\frac{\delta^2}{2}\cdots\notag$$
+
+$$=-\delta+\delta^2-\frac{\delta^2}{2}+\frac{\delta^3}{2}\cdots\notag$$
+
+$$=-\delta+\delta^2/2+\cdots$$
+
+[//]:# (식 25)
+
+과 같다. 따라서 
+
+$$(1-\delta)\ln(1-\delta) \gt -\delta +\frac{\delta^2}{2}$$
+
+가 성립하며 로그의 성질에 따라
+
+$$(1-\delta)^{(1-\delta)}\gt\exp\left(-\delta + \frac{\delta^2}{2}\right)$$
+
+[//]:# (식 27)
+
+가 성립함을 알 수 있다.
+
+따라서, 식 (27)을 식(23)에 대입하면,
+
+$$\left(\frac{e^{-\delta}}{(1-\delta)^{(1-\delta)}}\right)^{E[X]}\lt \left(\frac{e^{-\delta}}{e^{(-\delta+\delta^2/2)}}\right)^{E[X]}$$
+
+$$\Rightarrow \left(\frac{e^{-\delta}}{(1-\delta)^{(1-\delta)}}\right)^{E[X]}\lt \left(e^{-\delta^2/2}\right)^{E[X]}$$
+
+이다. 따라서, 이 결과를 식 (20)과 식 (23)에 대입하면,
+
+$$\Rightarrow P(X\lt (1-\delta)E[X])\lt \exp(-E[X]\delta^2/2)$$
+
+[//]:# (식 30)
+
+이다.
+
+(증명 끝)
+
+## Upper-Tail Chernoff Bound
+
+Upper-Tail 부분에 대한 증명은 Lower-tail에 대한 증명과 거의 유사한 방식으로 진행된다. 따라서 Upper-tail에 대한 증명은 더 빠르게 진행되며 빠르게 넘어간 부분은 Lower-tail 파트 증명에서 참고하기 바란다. 식 (1)과 같은 랜덤변수 $X$에 대해 임의의 $\delta\in(0, 1)$[^1]을 선정하면 다음이 성립한다.
+
+$$P(X\gt(1+\delta)E[X]) \lt e^{-E[X]\cdot \delta^2/3}$$
+
+[//]:# (식 31)
+
+[^1]: 책 Outlier Analysis (Charu C. Aggarwal)에서는 (0, 2e-1)의 범위에서 성립하는 Chernoff Bound를 보여주고 있으나 아직까지 어떻게 증명해야 하는지 잘 모르겠다. 그래서 다른 교과서에서 소개하고 있는 (0, 1) 바운드에 대한 Chernoff Bound를 소개한다.
+
+여기서 $e$는 자연로그의 밑이다.
+
+(증명)
+
+Lower-tail에 대한 증명에서와 마찬가지로 아래를 증명하는 것이 첫 스텝이다.
+
+$$P(X\gt(1+\delta)E[X]) \lt \left(\frac{e^\delta}{(1+\delta)^{(1+\delta)}}\right)^{E[X]}$$
+
+[//]:# (식 32)
+
+이 때 $t>0$인 매개변수를 도입하고 $X$에 대한 식은 $e^tX$에 대한 식으로 바꾸자. 식 (32)의 좌변 정보를 이용하여 마르코프 부등식을 적용하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.
+
+$$P(X\gt(1+\delta)E[X]) \leq \frac{E[e^{tX}]}{e^{t(1+\delta)E[X]}}$$
+
+[//]:# (식 33)
+
+식 (1)의 $X$의 정의에 따라 식 (33) 우변의 분자만 따로 떼서 생각하면 다음과 같이 쓸 수도 있다는 것을 알 수 있다.
+
+$$E[e^{tX}]=E[e^{t\sum_i X_i}]=E\left[\prod_{i=1}^{N}e^{tX_i}\right]=\prod_{i=1}^{N}E[e^{tX_i}]$$
+
+[//]:# (식 34)
+
+이다.
+
+한편, $X_i$는 베르누이 시행이므로, 식 (9)가 성립하고, $e^{tX_i}$의 기댓값은 다음과 같다.
+
+$$E[e^{tX_i}]=(1-p_i)e^{t\cdot 0}+p_i e^{t\cdot 1}=1-p_i+p_ie^t\notag$$
+
+$$=1+p_i(e^t-1)=1+E[X_i](e^t-1)$$
+
+[//]:# (식 35)
+
+또, 식 (35)의 마지막 식은 $\exp(1+E[X_i]\cdot(e^t-1))$의 테일러 급수 첫 두항과 일치한다. 즉,
+
+$$\exp(x) = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2}+\cdots$$
+
+[//]:# (식 36)
+
+이므로 $\exp(E[X_i]\cdot(e^t-1))$은 
+
+$$\exp(E[X_i]\cdot(e^t-1))=1+E[X_i](e^t-1)+\frac{1}{2!}(E[X_i](e^t-1))^2+\cdots \notag$$
+
+$$\gt 1+E[X_i](e^t-1)$$
+
+[//]:# (식 37)
+
+이다. 따라서, 식 (34)에서의 마지막 결과값에 대해 다음과 같이 정리할 수 있다.
+
+$$\prod_{i=1}^{N}E[e^{tX_i}]=\prod_{i=1}^{N}(1+E[X](e^t-1))<\prod_{i=1}^{N}\exp(E[X_i](e^t-1))$$
+
+[//]:# (식 38)
+
+한편, 
+
+$$\prod_{i=1}^{N}\exp(E[X_i](e^t-1))=\exp\left(E\left[\sum_{i=1}^{N}X_i\right](e^t-1)\right)=\exp(E[X](e^t-1))$$
+
+[//]:# (식 39)
+
+이므로 위 결과를 식 (33)에 대입하면,
+
+$$P(X\gt(1+\delta)E[X])\leq \frac{\exp(E[X](e^t-1))}{e^{t(1+\delta)E[X]}}$$
+
+[//]:# (식 40)
+
+임을 알 수 있다. Lower-tail boundary에서와 마찬가지로 식 (40)의 우변을 미분하여, 미분 계수를 0으로 만들어줄 수 있는 가장 tight한 $t=t^\ast$를 찾으면 다음과 같다.
+
+$$t^\ast=\ln(1+\delta)$$
+
+[//]:# (식 41)
+
+식 (41)을 식 (40)에 대입하면 식 (32)를 얻을 수 있게 된다.
+
+$$P(X\gt(1+\delta)E[X]) \leq \frac{\exp(E[X](e^{\ln(1+\delta)}-1))}{\exp((1+\delta)E[X]\ln(1+\delta))}$$
+
+[//]:# (식 42)
+
+$$\Rightarrow P(X\gt(1+\delta)E[X]) \leq \frac{\exp(E[X]\delta)}{(1+\delta)^{(1+\delta)E[X]}}$$
+
+[//]:# (식 43)
+
+$$\Rightarrow P(X\gt(1+\delta)E[X]) \leq \left(\frac{e^\delta}{(1+\delta)^{(1+\delta)}}\right)^{E[X]}$$
+
+[//]:# (식 44)
+
+식 (44)로부터 식 (31)을 증명하기 위해선 아래의 수식이 사실인지 확인하면 된다.
+
+$$\frac{e^\delta}{(1+\delta)^{(1+\delta)}}<e^{-\mu^2/3}$$
+
+[//]:# (식 45)
+
+식 (45)의 양변에 로그를 취하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.
+
+$$f(\delta) = \delta - (1+\delta)\ln (1+\delta) + \frac{\delta^2}{3}< 0$$
+
+[//]:# (식 46)
+
+$f(\delta)$의 미분계수를 구하면 아래와 같다.
+
+$$f'(\delta) = 1-\frac{1+\delta}{1+\delta}-\ln(1+\delta)+\frac{2}{3}\delta = -\ln(1+\delta)+\frac{2}{3}\delta$$
+
+$$f''(\delta) = - \frac{1}{1+\delta}+\frac{2}{3}$$
+
+여기서 2계 도함수로부터 알 수 있는 것은 아래와 같다.
+
+$$\begin{cases}f''(\delta)\lt 0\text{ for } 0\leq \delta \lt 1/2 \\ f''(\delta) > 0 \text{ for } \delta >1/2\end{cases}$$
+
+다시 말해, $f'(\delta)$는 $(0,1)$ 구간에서 처음에는 감소하다가 증가하게 되는 형태를 띈다는 것이다. 또한, 1계 도함수 식을 보면 $f'(0)=0$이고 $f'(1)\lt 0$이라는 사실이다. 따라서, $(0,1)$ 구간에서 $f'(\delta)\lt 0$이라는 사실을 알 수 있다. 마지막으로 $f(0)=0$이므로 $(0,1)$ 구간에서 $f(\delta)$는 항상 음수임을 알 수 있다.
+
+그러므로, 식 (46)은 사실임을 알 수 있고 식 (31) 또한 성립하는 것이다.
+
+(증명 끝)
+
+# Reference
+
+* Outlier Analysis (2nd e.d), Charu C. Aggarwal, Springer
+* Probability and Computing (2nd e.d.), Michael Mitzenmacher and Eli Upfal, Cambridge University Press

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@@ -6,7 +6,7 @@
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     line-height: var(--header-height);
@@ -16,6 +15,9 @@
     max-width: calc(var(--nav-width));
 }
 
+.nav-post {
+}
+
 .nav a {
     display: block;
 }

themes/oldtheme/assets/css/common/post-single.css

@@ -1,13 +1,11 @@
 .post-header {
-    margin: 24px auto calc(var(--content-gap) + 20px) auto;
+    margin: 48px auto calc(var(--content-gap) * 2);
     text-align: center;
 }
 
 .post-title {
-    margin-top: 32px;
     margin-bottom: 12px;
     font-size: 24px;
-    padding-top: 32px;  
 }
 
 .post-description {
@@ -27,12 +25,16 @@
     box-shadow: 0 1px 0 var(--secondary);
 }
 
+.post-divider {
+    border-bottom: solid black 1px;
+    margin-bottom: var(--content-gap);
+}
+
 .breadcrumbs a {
     font-size: 16px;
 }
 
 .post-content {
-    font-family: "Source Serif 4", "Gowun Batang", sans-serif !important;
     font-size: 16px;
     font-weight: 400;
     font-family: inherit;

themes/oldtheme/assets/css/core/reset.css

@@ -1,6 +1,23 @@
 @import url("https://cdn.jsdelivr.net/gh/orioncactus/pretendard@v1.3.8/dist/web/static/pretendard.css");
 @import url('https://fonts.googleapis.com/css2?family=Gowun+Batang:wght@400;700&family=Gowun+Dodum&family=JetBrains+Mono&family=Source+Sans+3:ital,wght@0,300;0,400;0,500;0,600;0,700;1,400&family=Source+Serif+4:ital,opsz,wght@0,8..60,300;0,8..60,400;0,8..60,500;0,8..60,600;0,8..60,700;1,8..60,400&display=swap');
 
+@font-face {
+  font-family: "Line Sans";
+  src: url("/LINESeedKR-Rg.woff2");
+}
+
+@font-face {
+  font-family: "Line Sans";
+  src: url("/LINESeedKR-Bd.woff2");
+      font-weight: bold;
+}
+
+@font-face {
+  font-family: "Line Sans";
+  src: url("/LINESeedKR-Th.woff2");
+  font-weight: 300;
+}
+
 *,
 ::after,
 ::before {
@@ -29,7 +46,7 @@ h2 { font-size: 18px; }
 h3 { font-size: 16px; }
 
 body {
-    font-family: "Source Sans 3", "Pretendard", sans-serif !important;
+    font-family: "Source Sans 3", "Line Sans", sans-serif !important;
     font-size: 14px;
     line-height: 1.8;
     word-break: break-word;

themes/oldtheme/assets/css/core/theme-vars.css

@@ -1,17 +1,17 @@
 :root {
     --gap: 20px;
     --content-gap: 20px;
-    --nav-width: 720px;
+    --nav-width: 800px;
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+    --main-width: 800px;
     --header-height: 60px;
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     --radius: 8px;
     --theme: white;
-    --entry: rgb(255, 255, 255);
+    --entry: white;
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     --secondary: rgb(108, 108, 108);
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+    --content: #181818;
     --hljs-bg: rgb(28, 29, 33);
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themes/oldtheme/layouts/_default/single.html

@@ -20,6 +20,7 @@
       {{- end }}
     </div>
   </header>
+  <div class="post-divider"></div>
 
   {{- if .Content }}
   <div class="post-content">

themes/oldtheme/layouts/partials/header.html

@@ -1,5 +1,5 @@
 <header class="header">
-    <nav class="nav{{- if .IsHome }} nav-home{{- else if (not .IsPage) }} nav-nonpost{{- end }}">
+    <nav class="nav{{- if .IsHome }} nav-home{{- else if (not .IsPage) }} nav-nonpost{{- else if .IsPage }} nav-post{{- end }}">
         <div class="logo">
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