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date = 2021-05-21T13:18:27Z
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slug = "pyphy-mulrienjin-1pyeon-gibon-aidieo"
title = "파이썬으로 구현한 뉴턴의 방정식과 적분방정식"
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우리의 세계에서 물체의 역학적 운동을 지배하는, 지배방정식이 있죠.뉴턴의 법칙, 방정식입니다.뉴턴의 법칙은 총 세개의 방정식이 있죠. 이 세가지 법칙만을 이용해서 물체의 운동을 계산할 수 있습니다.이것을 바탕으로 만들어진 역설이 라플라스의 역설이죠. 만약 모든 분자의 가속도, 속도, 위치 세가지 정보를 알고 있다면, 뉴턴의 법칙에 근거하여 그 다음 상황을 예측할 수 있고, 따라서 이 세상, 아니면 그것을 넘어서서 모든 분자의 정보를 알 수 있습니다.우리가 여기서 분석할 것은 가장 쉬운 법칙, 뉴턴의 제 2법칙, 가속도의 법칙입니다.뉴턴의 가속도 법칙은  $  F = \frac{dp}{dt} $ 로 표현할 수 있습니다. 이 법칙에 의하면, 질량의 변화가 없는 물체에서, $ a $ 는  $ F$ 에 비례합니다. 따라서 각 순간 물체에 작용하는 힘의 크기를 안다면, 그 물체의 가속도를 알 수 있겠죠?

이때, 가속도와 속도, 변위의 정의를 이용하면  $ a = \frac{dv}{dt} $ 이고,  $ v = \frac{dx}{dt} $입니다.가속도를 안다면 적분을 통해 속도를 알 수 있고, 속도를 안다면 변위를 알 수 있죠.정상상태에서는 물체에 작용하는 힘의 방정식을 구할 수 있습니다. 이것을 질량으로 나눠 가속도를 얻을 수 있고, 속도와 변위의 방정식을 얻을 수 있습니다.

하지만, 컴퓨터는 대수적으로 적분할 수 없습니다. (물론 할 수 있는 알고리즘도 있지만 불완전하죠)그렇다면 어떻게 각 시점에서 가속도의 값을 알고, 속도와 변위의 값을 알 수 있을까요?이렇게 미분방정식을 통해서 각 시점의 이산적인 변수값을 알 수 있도록 하는 것이 오일러 근사법입니다.오일러 근사법을 통틀어 이렇게 수치적으로 방정식을 해석하는 학문을 통틀어 수치해석학이라고 합니다.이렇게 물리를 시뮬레이션 하거나 컴퓨터로 해를 구할 때는 수치해석학을 사용합니다.



### 오일러 방정식이란,

$$ \frac{dy}{dx} = f(x) $$라고 표현되어지는 미분 방정식이 있을 때, 오일러 근사법을 이용하면 일정한 지점의 $y$ 값을 근사로 구할 수 있습니다.

$$ y_{n+1} = y_n + \frac{dy}{dx}|_{x_n} \Delta x $$ 라는 식으로 말이죠.

이 식을 이용하면 특정 원점으로부터 $\Delta x$만큼의 일정한 간격을 띄어가며 $y$ 를 근사할 수 있습니다.



이 방법으로 물체에 작용하는 힘을 알 때 변위와 속도를 구할 수 있습니다. 특정 $\Delta t$를 기준으로 $\Delta$의 $n$배만큼의 시점에서 구할 수 있습니다.

$$ v_{n+1} = v_n + \frac{dv}{dt}|_{t_n} \Delta t $$

$$ x_{n+1} = x_n + \frac{dx}{dt}|_{t_n} \Delta t $$

으로 말이죠..



### 이제 파이썬으로 오일러 근사법을 구현해 봅시다.

이렇게 데이터의 배열끼리의 연산을 취급할 때에는 파이썬의 수치분석 모듈인 Numpy를 사용합니다. 하지만, 간단한 시뮬레이션에서는 파이썬 기본으로도 충분합니다. 그래프를 표현하기 위해 matplotlib과 수식을 위해 math를 이용합니다.

```python
import matplotlib.pyplot as plt 
import math 
x0 = 0.0
y0 = 1.0
dx = 0.01
step = 1000
dydx = lambda x, y: 1/y 
x = [x0 + dx*i for i in range(step)] 
y = [y0] 

for n in range(step-1): 
	y.append(y[n] + dydx(x[n],y[n]) * dx) 

plt.plot(x, y) 
plt.grid() 
plt.xlabel("x") 
plt.ylabel("y") 
plt.legend() 
plt.show()
```

{{< figure src="https://blog.kakaocdn.net/dn/KMPAl/btq9fmV0ntZ/HPdiTkaknSISR4yGvxKUSK/img.png" caption="$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y} $" >}}